Глава 1. Системы счисления и формы представления информации

ИНФОРМАЦИЯ

Слово информация (лат. informatio) означает разъяснение, осведомление, изложение, т.е. под информацией понимаются все те сведения, которые уменьшают степень неопределенности нашего знания о конкретном объекте [1].

Для нас важны свойства информации, которые выражаются в возможности получить, записать, удалить и передать ее в другое место хранения или обработки. Вместе с тем при распространении информации проявляется еще одно ее свойство, которое не присуще материальным объектам: при передаче информации из одной системы в другую количество информации в передающей системе не уменьшится, а в принимающей системе оно обычно увеличивается, так как кроме основной (принимаемой) появляется служебная и сопутствующая информация (стробирующие сигналы и помеха).

Итак, информация не материальна, но при записи на свои «носители» (лист бумаги, экран монитора, гибкий или жесткий диск) информация становится материальной и в дальнейшем отожествляется со своим материальным носителем - средством переноса информации в пространстве и во времени. Она представлена в виде сигналов: световых, звуковых, электрических, которые при отображении на носителе кодируются, т.е. им ставятся в соответствие форма, цвет, структура и другие параметры элементов носителя.

Меры информации

В общем случае принято говорить о количестве информации и об объеме данных. В свете идей семиотики (науки о знаковых системах) адекватность информации, соответствие ее содержания образу отображаемого объекта может выражаться в трех формах:

• синтаксической;
• семантической;
• прагматической.

Синтаксическая адекватность связана с воспроизведением формально-структурных характеристик отражения, абстрагировано от смысловых и потребительских (полезностных) параметров. На синтаксическом уровне учитываются:

• тип носителя; 
• способ представления информации;
• скорость передачи и обработки информации;
• формат кодов представления информации;
• надежность и точность преобразования информации и т. п.

Информацию, рассматриваемую только с синтаксических позиций, обычно называют данными.

Объем данных в сообщении измеряется количеством символов (разрядов) принятого в этом сообщении алфавита. Часто информация кодируется числовыми кодами в той или иной системе счисления.

Семантическая адекватность выражает аспект соответствия образа, знака и объекта, т.е. отношение информации и ее источника. Для измерения смыслового содержания информации, т.е. ее количества на семантическом уровне, обычно применяют тезаурусную меру информации, которая связывает семантические свойства информации со способностью пользователя воспринимать поступившее сообщение. Используется понятие тезаурус пользователя.

Тезаурус можно трактовать как совокупность сведений, которыми располагает данная система, пользователь. Количество семантической информации в сообщении является величиной относительной: одно и то же сообщение может иметь смысловое содержание для компетентного пользователя и быть бессмысленным (семантическим шумом) для пользователя некомпетентного.

Прагматическая адекватность. Прагматический аспект рассмотрения информации связан с ценностью, полезностью информации, т.е. анализируются потребительские свойства информации.

Прагматическая мера информации - это полезность информации, ее ценность для пользователя.

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Самой простой, а поэтому самой распространенной во всех аппаратных средствах вычислительной техники системой счисления (далее сокращенно с.с.) является двоичная, а самой маленькой единицей информации является бит. В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с разными с.с. Так, ни у кого не вызывает сомнения что 100 мин. это 1 ч. 40 мин. (60 – ричная система счисления), 100 ч. это 4 дня и 4 ч. (24 – ричная с.с.), а 1000 дней это 2 года и 270 дней (365 – ричная с.с.). Правда, в последнем случае возникает необходимость уточнить, с какого по какой год идет речь, т.е. присутствует ли там високосный год. Или, другими словами, необходима ли коррекция вычисления? Вместе с тем при рассмотрении, как представляются числа в цифровых электронно – вычислительных машинах (ЭВМ), у студентов возникают вопросы по переводу из одной системы в другую и наоборот.

В цифровых ЭВМ применяются двоичная, восьмиричная и шестнадцатеричная с.с. и двоично-десятичный код представления информации. Двоично-десятичный код это тоже двоичная с.с. но при вычислениях обязательно для некоторых разрядов применяется коррекция (суммирование получившегося числа с числом 6, в двоичном виде это 0 1 1 0, которое является разницей между максимальным числом разрядов в тетраде – 1 1 1 1 и максимальной цифрой десятичной с.с. – 1 0 0 1).

Существуют общие правила для этих систем счисления.

Представление чисел (Правило 1). Числа в позиционных системах счисления цифровых ЭВМ представляются последовательностью цифр (цифр разрядов), разделенных запятой на две группы: группу разрядов, изображающую целую часть числа, и группу разрядов, изображающую дробную часть числа, причем символ, стоящий слева, является старшим (более весомым):

                                                              … а₂ а₁ а₀, a_-1 a_-2 а_-3 … (1)

Здесь а₂, а₁, а₀ - цифры нулевого, первого и т. д. разрядов целой части числа; а _-1, а_-2, а_-3 - цифры первого, второго и т. д. разрядов дробной части числа.

Вес числа. Единице каждого разряда приписан определенный вес p^k, где р - основание системы счисления; k - номер разряда, равный индексу при буквах, изображающих цифры разрядов. Так, представленная выражением (1) запись означает следующее количество информации определенной с.с. [2]:

                                                 N= а₂ · р2 + а₁· р1 + а₀ · р0 + а_-1· р^-1 + а_-2· р^-2, а_-3· р^-3

Для представления цифр разрядов используется набор из р различных символов. Так, при р = 10 (т. е. в обычной десятичной системе счисления) для записи цифр разрядов применяется набор из десяти символов: 0,1, 2, ..., 9. При этом запись числа 100,001₁₀ (здесь и в дальнейшем индекс при числе будет указывать основание системы счисления, в которой представлено число, а также возможно обозначение в – двоичная, d – десятичная, h – шестнадцатеричная с.с.) означает следующее количество:

1       0     0 ,   0     0     1    = 1 * 10² + 0 * 10¹ + 0 * 10⁰ + 0 * 10^-1 + 0 * 10^-2 + 1 * 10^-3

х      х      х      х     х     х

10² 10¹ 10⁰ 10^-1 10^-2 10^-3

Правило 2. Таким образом, число в десятичной системе счисления равно сумме чисел переводимой с.с., полученных умножением каждого разряда числа на основание этой системы в степени равной месторасположению разряда в соответствии с правилом представления чисел (Правило 1).

Для проверки справедливости данного правила для основных с.с. (двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной), применяемых в цифровых ЭВМ, построим таблицу соответствия.

Как уже говорилось, самой маленькой единицей информации является бит. Логически это либо «есть», либо «нет», а в электронных схемах это логическая «1» или логический «0». Более крупной единицей информации является байт (8 бит), в который может быть записан (закодирован) какой-либо символ (буква, цифра и т.д.). В байте самым младшим является правый бит, а старшим - стоящий слева от него, т.е. заполнение разрядной сетки (соответственно и увеличение веса числа) идет справа налево.

Таблица соответствия различных систем счисления:

Итак, проверим правило перевода из этих систем счисления в привычную десятичную:

Двоичная система счисления. Основание с.с. р = 2. Таким образом, для записи цифр разрядов требуется набор лишь из двух символов, в качестве которых используются 0 и 1. Следовательно, в двоичной с.с. число представляется только последовательностью символов 0 и 1.

Значит, запись в двоичной с.с. 11010,101₂ соответствует в десятичной с.с. следующему числу:

1    1    0    1    0 ,   1    0    1        =  (1 · 2⁴ + 1 · 2³ + 0 · 2² + 1 · 2¹ + 0 · 2⁰ +

х    х    х   х    х      х    х    х                + 1 · 2^-1 + 0 · 2^-2 + 1 · 2^-3 = 26,625₁₀

2⁴ 2³  2²  2¹  2⁰   2^-1 2^-2 2^-3

Восьмеричная система счисления. Основание системы счисления р = 8. Следовательно, для представления цифр разрядов должны использоваться восемь различных символов, в качестве которых выбраны 0,1, 2,....7 (отметим, что десятичные символы 8 и 9 здесь не используются и в записи чисел встречаться не должны). Например, записи 735,46₈ в десятичной системе счисления соответствует следующее число:

7    3    5 ,     4    6     =   (7 · 8² + 3 · 8¹ + 5 · 8⁰ + 4 · 8^-1 + 6 · 8^-2) = 477,59375

х    х    х       х    х

8²  8¹  8⁰     8^-1 8^-2

т.е. запись 735,46₈ означает число, содержащее 7 раз по 8² = 64, 3 восьмерки, 5 единиц, 4 раза по 8^-1 и 6 раз по 8^-2 (1/64).

Шестнадцатеричная система счисления. Основание системы счисления р = 16, и для записи цифр разрядов должен использоваться набор из 16 символов: 0, 1, 2, .... 9, A, B, C, D, E, F. В нем используются 10 арабских цифр, и до требуемых шестнадцати их дополняют шестью начальными буквами латинского алфавита. При этом символ А соответствует количеству, в десятичной системе счисления равному 10, В – 11, C — 12, D — 13. Е — 14 и F – 15.

При этом запись АВ9,C2F₁₆ соответствует следующему числу в десятичной системе счисления:

Геометрическую интерпретацию представления целых чисел можно рассмотреть на отрезке числовой оси в виде спирали, где ее диаметр будет определяться количеством разрядов (знакомест). Тогда в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления это будет выглядеть следующим образом (рис.1.1):

Рис. 1.1. Геометрическая интерпретация роста значений чисел в восьмеричной и шестнадцатеричной с.с. счисления отраженных на двоичную и десятичную числовую ось.

Из рисунка видно, что в шестнадцатеричной с.с. те же числа «умещаются» в одном витке. То есть практически мы имеем дело с двоичной с.с., а восьмеричная или шестнадцатиричная с.с., которые более удобны для человеческого восприятия являются лишь представлением двоичной.